Vidange de rservoirs Théorème de Torricelli On considère un récipient de rayon R(z) et de section S 1 (z) percé par un petit trou de rayon r et de section S 2 contenant un liquide non visqueux. Soit z la hauteur verticale entre le trou B et la surface du liquide A. Si r est beaucoup plus petit que R(z) la vitesse du fluide en A est négligeable devant V, vitesse du fluide en B. Le théorème de Bernouilli permet d'écrire que: PA − PB + μ. g. z = ½. μ. V 2. Comme PA = PB (pression atmosphérique), il vient: V = (2. z) ½. La vitesse d'écoulement est indépendante de la nature du liquide. Écoulement d'un liquide par un trou Si r n'est pas beaucoup plus petit que R(z), la vitesse du fluide en A n'est plus négligeable. On peut alors écrire que S1. V1 = S2. V2 (conservation du volume). Du théorème de Bernouilli, on tire que: La vitesse d'écoulement varie avec z. En écrivant la conservation du volume du fluide, on a: − S 1 = S 2. V 2 Le récipient est un volume de révolution autour d'un axe vertical dont le rayon à l'altitude z est r(z) = a. z α S 1 = π. Vidange d un réservoir exercice corrigé film. r² et S 2 = πa².
z 2α. Il vient V 2 = dz / dt = − (r² / a²). (2g) ½. z (½ − 2α). L'intégration de cette équation différentielle donne la loi de variation de la hauteur de liquide en fonction du temps. Montrer que dans ce cas, on a: z (½ + 2α) = f(t). Récipient cylindrique (α = 0) Dans ce cas z = f(t²). Voir l'étude détaillée dans la page Écoulement d'un liquide. Récipient conique (entonnoir) (α = 1) z 5/2 = f(t). r(z) = a. z 1 / 4. Dans ce cas la dérivée dz /dt est constante et z est une fonction linéaire du temps. Cette forme de récipient permet de réaliser une clepsydre qui est une horloge à eau avec une graduation linéaire. Récipient sphérique Noter dans ce cas le point d'inflexion dans la courbe z = f(t). Données: Dans tous les cas r = 3 mm. Vidange d'un réservoir, formule de bernoulli. Cylindre R = 7, 5 cm. Cône: a = 2, 34. Sphère R = 11 cm. Pour r(z) = a. z 1 / 4 a = 50. Pour r(z) = a. z 1 / 2 a = 23, 6.
Solution La durée de vidange T S est: \(T_S = - \frac{\pi}{{s\sqrt {2g}}}\int_R^0 {(2Rz_S ^{1/2} - z_S ^{3/2})dz_S}\) Soit: \(T_S = \frac{{7\pi R^2}}{{15s}}\sqrt {\frac{{2R}}{g}}\) L'application numérique donne 11 minutes et 10 secondes. Vidange d'un réservoir - Relation de Bernoulli - YouTube. Question Clepsydre: Soit un récipient (R 0) à symétrie de révolution autour de l'axe Oz, de méridienne d'équation \(r=az^n\) Où r est le rayon du réservoir aux points de cote z comptée à partir de l'orifice C, de faible section s = 1 cm 2 percé au fond du réservoir. Déterminer les coefficients constants n et a, donc la forme de (R 0), pour que le cote du niveau d'eau placée dans (R 0) baisse régulièrement de 6 cm par minute au cours de la vidange. Solution La clepsydre est caractérisée par une baisse du niveau par seconde constante: \(k = - \frac{{dz}}{{dt}} = - 10^{ - 3} \;m. s^{ - 1}\) On peut encore écrire: \(v_A = \sqrt {2gz} \;\;\) et \(sv_A = - \pi r^2 \frac{{dz}}{{dt}}\) Soit: \(s\sqrt {2gz} = - \pi r^2 \frac{{dz}}{{dt}} = \pi r^2 k\) Or, \(r=az^n\), donc: \(s\sqrt {2g} \;z^{1/2} = \pi a^2 k\;z^{2n}\) Cette relation est valable pour tout z, par conséquent n = 1 / 4.
Il existe une ligne de courant ente le point A situé à la surface libre et le point M dans la section de sortie, on peut donc appliquer la relation de Bernouilli entre ces deux points: En considérant les conditions d'écoulement, on a:. En outre, comme la section du réservoir est grande par rapport à celle de l'orifice, la vitesse en A est négligeable par rapport à celle de M: V_A = 0 (il suffit d'appliquer la conservation du débit pour s'en rendre compte). En intégrant ces données dans l'équation, on obtient: D'où
On en déduit également: \(a = \sqrt {\frac{{s\sqrt {2g}}}{{\pi k}}} = 0, 375\) Finalement, l'équation de la méridienne est: \(r=0, 375z^{1/4}\)